První hokejové krůčky udělal Filip Šindelář v rodné Vlašimi, ve dvaceti letech se pak přesunul do Jindřichova Hradce. Po méně úspěšném angažmá v prvoligovém Ytongu Brno se v průběhu sezóny 2001/02 odebral do Mladé Boleslavi, která tehdy hrála až třetí nejvyšší českou soutěž. Bruslařský klub se i s jeho pomocí probojoval až do baráže o první ligu. V té Šindelář zářil. Z osmi zápasů si odnesl průměr 1,47 inkasovaných branek na zápas a průměrnou úspěšnost 95,5%. Boleslavi se tak otevřely brány první ligy.
V kádru Mladé Boleslavi vydržel, s drobnými pauzami, během nichž se podíval například do Sparty, Liberce či slovenské Dubnice, až do roku 2009. Rok předtím opět pomohl splnit sen mladoboleslavských fanoušků, když velkou mírou pomohl k postupu Středočechů do Extraligy. V samotné baráži však nastoupil jen jednou, přednost před ním dostal Martin Růžička.
Šindeláře do svých řad následně ulovili Vítkovice. V průběhu jeho angažmá ve Slezsku se v rámci hostování postupně podíval do Třebíče, Opavy, Šumperka nebo Havlíčkova Brodu. Do příští sezóny vstoupí jakožto kališník.